试题

题目:
(2005·武汉)将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放.青果学院

(1)将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P1是A1C与AB的交点,求证:CP1=
2
2
AP1
(2)将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C(如图3),点P2是A2C与AB的交点.线段CP1与P1P2之间存在一个确定的等量关系,请你写出这个关系式并说明理由;
(3)将图3中线段CP1绕点C顺时针旋转60°到CP3(如图4),连接P3P2,求证:P3P2⊥AB.
答案
青果学院(1)证明:过点P1作CA的垂线,垂足为D.
易知:△CDP1为等腰直角三角形,
△P1DA是直角三角形,且∠A=30°,
所以CP1=
2
P1D,P1D=
1
2
AP1
故CP1=
2
2
AP1

(2)解:过点P1作CA2的垂线,垂足为E,青果学院
易知:△P1EP2是等腰直角三角形,
(其中∠2=∠A+∠P2CA=45°),
因为△P1CE是直角三角形,且∠1=30°,
所以CP1=2P1E,P1E=
2
2
P1P2
故CP1=
2
P1P2

(3)证明:将图3中线段CP1绕点C顺时针旋转60°到CP3
易证:△CP1P2≌△CP3P2,于是∠CP3P2=∠CP1P2=105°,
∴∠P1P2P3=360°-105°×2-60°=90°,
故P2P3⊥AB.
青果学院(1)证明:过点P1作CA的垂线,垂足为D.
易知:△CDP1为等腰直角三角形,
△P1DA是直角三角形,且∠A=30°,
所以CP1=
2
P1D,P1D=
1
2
AP1
故CP1=
2
2
AP1

(2)解:过点P1作CA2的垂线,垂足为E,青果学院
易知:△P1EP2是等腰直角三角形,
(其中∠2=∠A+∠P2CA=45°),
因为△P1CE是直角三角形,且∠1=30°,
所以CP1=2P1E,P1E=
2
2
P1P2
故CP1=
2
P1P2

(3)证明:将图3中线段CP1绕点C顺时针旋转60°到CP3
易证:△CP1P2≌△CP3P2,于是∠CP3P2=∠CP1P2=105°,
∴∠P1P2P3=360°-105°×2-60°=90°,
故P2P3⊥AB.
考点梳理
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
(1)由旋转可知,△P1AC是含有特殊角45°,30°的钝角三角形,作垂线,把问题转化到两个直角三角形求CP1,AP1的关系;
(2)此时,可推出∠1=30°,∠2=45°,△P1P2C是含有特殊角45°,30°的钝角三角形,类似地作垂线,解直角三角形,确定CP1,P1P2的关系;
(3)分析旋转角及图形特征,易证△CP1P2≌△CP3P2,根据角的关系证明垂直.
本题考查旋转的性质.旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变,充分运用特殊直角三角形的特点找线段关系.
压轴题.
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