试题

加试题（本小题满分20分，其中（1）、（2）、（3）题各3分，（4）题11分）
（1）一个正数的平方根为3-a和2a+3，则这个正数是
（2）若x²+2x+y²-6y+10=0，则x^y=
（3）已知a，b分别是6-

13

的整数部分和小数部分，则2a-b=
（4）阅读下面的问题，并解答问题：
1）如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数是多少？（请在下列横线上填上合适的答案）
分析：由于PA，PB，PC不在同一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转到△ACP′处，此时可以利用旋转的特征等知识得到：
  ①∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C；
  ②AP=AP′，且∠PAP′=度，所以△APP′为三角形，则∠AP′P=度；
  ③P′C=BP=4，P′P=AP=3，PC=5，所以△PP′C为三角形，则∠PP′C=度，从而得到∠APB=度．
 2）请你利用第1）题的解答方法，完成下面问题：
如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为边BC上的点，且∠EAF=45°，试说明：EF²=BE²+FC²．

解：（1）∵一个正数的平方根是3-a和2a+3，
∴3-a和2a+3互为相反数，
即（3-a）+（2a+3）=0；
解得a=-6，
则3-a=9；
则这个数为9²=81；
故答案为：81，
（2）∵x²+2x+y²-6y+10=0，
∴（x+1）²+（y-3）²=0，
∴x+1=0，y-3=0，
∴x=-1，y=3，
则x^y=-1，
故答案为：-1，
（3）解：∵

9

＜

13

＜

16

，
∴3＜

13

＜4，
∴2＜6-

13

＜3，
∴a=2，
∴b=6-

13

-2=4-

13

，
∴2a-b=2×2-（4-

13

）=

13

．
故答案是

13

．

（4）
1）将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=PAP′=60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′=60°，
因为B P P′不一定在一条直线上
连接PC，△PP′C是直角三角形，∠APB=∠AP′C=150°，
∴∠BPA=150°；
故答案是：②60，等边，60，③直角，90°，150°；

2）把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．
则△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
又AG=AF，AE=AE．
∴△AEG≌△AFE．
∴EF=EG，
又∠GBE=90°，
∴BE²+BG²=EG²，
即BE²+CF²=EF²．