试题

已知：如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，将线段CB绕点C旋转60°得到CB′，∠ACB的平分线CD交直线AB′于点D，连接DB，在射线DB′上截取DM=DC．
（1）在图1中证明：MB′=DB；
（2）若AC=

6

，分别在图1、图2中，求出AB′的长（直接写出结果）．

（1）证明：在图1中，连接CM，
∵线段CB绕点C旋转60°得到CB′，
∴CB=CB′，∠BCB′=60°，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴CA=CB′，∠ACB′=90°+60°=150°，
∴∠CAB′=∠B′=15°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°．
∴∠CDM=∠ACD+∠CAD=60°，
∵DM=DC，
∴△CDM是等边三角形，
∴CM=CD，∠DCM=60°，
∴∠B′CM=∠ACB′-∠ACD-∠DCM=45°，
∴∠B′CM=∠BCD，
在△CMB′和△CDB中，

CB′=CB ∠B′CM=∠BCD CM=CD

，
∴△CBM′≌△CDB（SAS），
∴M′B=BD；

（2）解：在图1中，作B′H⊥AC交AC的延长线于H，
∵∠ACB′=150°，
∴∠B′CH=30°，
在Rt△B′CH中，CB′=AC=

6

，
∴B′H=

1

2

CB′=

6

2

，
CH=

3

B′H=

3 2

2

，
∴AH=

6

+

3 2

2

，
在Rt△AB′H中，AB′²=B′H²+AH²=（

6

2

）²+（

6

+

3 2

2

）²=3（

3

+1）²，
∴AB′=

3

（

3

+1）=3+

3

；
在图2中，作B′H⊥AC于H，
∵∠BCB′=60°，∠ACB=90°，
∴∠B′CH=30°，
在Rt△B′CH中，CB′=AC=

6

，
∴B′H=

1

2

CB′=

6

2

，
CH=

3

B′H=

3 2

2

，
∴AH=

6

-

3 2

2

，
在Rt△AB′H中，AB′²=B′H²+AH²=（

6

2

）²+（

6

-

3 2

2

）²=3（

3

-1）²，
∴AB′=

3

（

3

-1）=3-

3

．
（1）证明：在图1中，连接CM，
∵线段CB绕点C旋转60°得到CB′，
∴CB=CB′，∠BCB′=60°，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴CA=CB′，∠ACB′=90°+60°=150°，
∴∠CAB′=∠B′=15°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°．
∴∠CDM=∠ACD+∠CAD=60°，
∵DM=DC，
∴△CDM是等边三角形，
∴CM=CD，∠DCM=60°，
∴∠B′CM=∠ACB′-∠ACD-∠DCM=45°，
∴∠B′CM=∠BCD，
在△CMB′和△CDB中，

CB′=CB ∠B′CM=∠BCD CM=CD

，
∴△CBM′≌△CDB（SAS），
∴M′B=BD；

（2）解：在图1中，作B′H⊥AC交AC的延长线于H，
∵∠ACB′=150°，
∴∠B′CH=30°，
在Rt△B′CH中，CB′=AC=

6

，
∴B′H=

1

2

CB′=

6

2

，
CH=

3

B′H=

3 2

2

，
∴AH=

6

+

3 2

2

，
在Rt△AB′H中，AB′²=B′H²+AH²=（

6

2

）²+（

6

+

3 2

2

）²=3（

3

+1）²，
∴AB′=

3

（

3

+1）=3+

3

；
在图2中，作B′H⊥AC于H，
∵∠BCB′=60°，∠ACB=90°，
∴∠B′CH=30°，
在Rt△B′CH中，CB′=AC=

6

，
∴B′H=

1

2

CB′=

6

2

，
CH=

3

B′H=

3 2

2

，
∴AH=

6

-

3 2

2

，
在Rt△AB′H中，AB′²=B′H²+AH²=（

6

2

）²+（

6

-

3 2

2

）²=3（

3

-1）²，
∴AB′=

3

（

3

-1）=3-

3

．