试题
题目:
已知△ABC是边长为1cm的等边三角形,以BC为边作等腰三角形BCD,使得DB=DC,且∠BDC=120°,点M是AB边上的一个动点,作∠MDN交AC边于点N,且满足∠MDN=60°,则△AMN的周长为
2
2
.
答案
2
证明:如图,在AC延长线上截取CM
1
=BM,
∵△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=30°,
∴∠ABD=∠ACD=90°,
∴∠DCM
1
=90°,
∵BD=CD,
∵在Rt△BDM≌Rt△CDM
1
中,
BD=CD∠ABD=∠DCM
1
=90° CM
1
=BM,
∴Rt△BDM≌Rt△CDM
1
(SAS),
得MD=M
1
D,∠MDB=∠M
1
DC,
∴∠MDM
1
=120°-∠MDB+∠M
1
DC=120°,
∴∠NDM
1
=60°,
∵MD=M
1
D,∠MDN=∠NDM
1
=60°,DN=DN,
∴△MDN≌△M
1
DN,
∴MN=NM
1
,
故△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NM
1
=AM+AM
1
=AB+AC=2.
故答案是:2.
考点梳理
考点
分析
点评
专题
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
可在AC延长线上截取CM
1
=BM,得Rt△BDM≌Rt△CDM
1
,得出边角关系,再求解△MDN≌△M
1
DN,得MN=NM
1
,再通过线段之间的转化即可得出结论.
本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题,能够通过线段之间的转化进而求解一些简单的结论.
压轴题.
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1
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1
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1
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1
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1
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1
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