试题

（2010·朝阳区一模）请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=

3

，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为

7

，问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=

5

，BP=

2

，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

解：（1）如图，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′=

2

；
连接PP′，
在Rt△BP′P中，
∵BP=BP′=

2

，∠PBP′=90°，
∴PP′=2，∠BP′P=45°；（2分）
在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=

5

，
∵12+22=(

5

)2，即AP′²+PP′²=AP²；
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，
∴∠AP′B=135°，
∴∠BPC=∠AP′B=135°．（4分）

（2）过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B=45°，
∴EP′=BE=1，
∴AE=2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=

5

；（7分）
∴∠BPC=135°，正方形边长为

5

．
解：（1）如图，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′=

2

；
连接PP′，
在Rt△BP′P中，
∵BP=BP′=

2

，∠PBP′=90°，
∴PP′=2，∠BP′P=45°；（2分）
在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=

5

，
∵12+22=(

5

)2，即AP′²+PP′²=AP²；
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，
∴∠AP′B=135°，
∴∠BPC=∠AP′B=135°．（4分）

（2）过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B=45°，
∴EP′=BE=1，
∴AE=2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=

5

；（7分）
∴∠BPC=135°，正方形边长为

5

．