试题

如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图②）．
（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
（2）当DB′∥AE时，求此时旋转角α的度数；
（3）如图③，在旋转过程中，设 AC′与DE所在直线交于点P，当△ADP成为等腰三角形时，求此时的旋转角α的度数．（直接写出结果）

（1）DB′=EC′，
证明：如图②，
∵AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=AE，
∵∠B′AC′=∠DAE=90°，
∴∠B′AD=∠C′AE=90°-∠DAC′，
在△B′AD和△C′AE中，

AB′=AC′ ∠B′AD=∠C′AE AD=AE

，
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′=EC′．

（2）解：∵DB′∥AE，
∴∠ADB′=∠EAD=90°
又∵△B′AD≌△C′AE，
∴∠AEC′=∠ADB′，
∴∠AEC′=90°，
即△AEC′为直角三角形，
又∵AE=

1

2

AC=

1

2

AC′，
∴∠EC′A=30°
∴α=90°-30°=60°．

（3）解：分为三种情况：
①当AP=DP时，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠ACP=45°，
∴α=90°-45°=45°；
②当AD=AP时，此时P和E重合，即α=0°；
③当AD=DP时，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠DPA=

1

2

（180°-∠ADP）=

1

2

×（180°-45°）=67.5°，
∴α=90°-67.5°=22.5°．
（1）DB′=EC′，
证明：如图②，
∵AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=AE，
∵∠B′AC′=∠DAE=90°，
∴∠B′AD=∠C′AE=90°-∠DAC′，
在△B′AD和△C′AE中，

AB′=AC′ ∠B′AD=∠C′AE AD=AE

，
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′=EC′．

（2）解：∵DB′∥AE，
∴∠ADB′=∠EAD=90°
又∵△B′AD≌△C′AE，
∴∠AEC′=∠ADB′，
∴∠AEC′=90°，
即△AEC′为直角三角形，
又∵AE=

1

2

AC=

1

2

AC′，
∴∠EC′A=30°
∴α=90°-30°=60°．

（3）解：分为三种情况：
①当AP=DP时，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠ACP=45°，
∴α=90°-45°=45°；
②当AD=AP时，此时P和E重合，即α=0°；
③当AD=DP时，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠DPA=

1

2

（180°-∠ADP）=

1

2

×（180°-45°）=67.5°，
∴α=90°-67.5°=22.5°．