试题

题目：
青果学院如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明：BD2=AB2+BC2．
答案
青果学院证明：如图，连接AC，
∵AD=CD，∠ADC=60°，
∴△ADC是正三角形．
∴DC=CA=AD．
将△DCB绕点C顺时针旋转60°到△ACE的位置，连接EB，
∴DB=AE，CB=CE，∠BCE=∠ACE-∠ACB=∠BCD-∠ACB=∠ACD=60°，
∴△CBE为正三角形．
∴BE=BC，∠CBE=60°．
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2=AB2+BE2．
∴BD2=AB2+BC2．
青果学院证明：如图，连接AC，
∵AD=CD，∠ADC=60°，
∴△ADC是正三角形．
∴DC=CA=AD．
将△DCB绕点C顺时针旋转60°到△ACE的位置，连接EB，
∴DB=AE，CB=CE，∠BCE=∠ACE-∠ACB=∠BCD-∠ACB=∠ACD=60°，
∴△CBE为正三角形．
∴BE=BC，∠CBE=60°．
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2=AB2+BE2．
∴BD2=AB2+BC2．
考点梳理
勾股定理的逆定理；旋转的性质．
要证明BD2=AB2+BC2，想到勾股定理，由于BD，AB，BC不在同一个三角形中，连接AC，将△DCB绕点C旋转60°到△ACE的位置，连接EB，证明△ABE是直角三角形即可．
能够充分运用旋转的性质，把要证明的线段转换到一个三角形中，根据旋转的性质发现一个直角三角形，再根据勾股定理即可证明．
证明题．
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