试题

正三角形ABC，AB=2，点D、E分别在AC，BC上且DE∥AB、DE=

3

．将△CDE绕点C顺时针旋转得到△CD′E′（如图D′，E′分别与点D，E对应），E′正好在AB上，D′E′与AC相交于点M．
（1）则∠AC E′=；
（2）求证：四边形ABC D′是梯形；
（3）求△AD′M的面积．

（1）解：∵等边△ABC的边长AB=2，
∴高线=2×

3

2

=

3

，
∵△CDE旋转后点E的对应点E′正好在AB上，
∴CE′是△ABC的高，
∴∠ACE′=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°；

（2）证明：∵DE∥AB，
∴△CDE也是等边三角形，
∵△CDE绕点C顺时针旋转得到△CD′E′，
∴∠ACD′=60°-30°=30°，
∴∠ACE′=∠ACD′，
∴AC是D′E′的垂直平分线，
∴∠CAD′=CAE′=60°，
∴∠CAD′=∠ACB，
∴AD′∥BC，
由图可知，AB与CD′不平行，
∴四边形ABC D′是梯形；

（3）解：∵∠ACD′=30°，∠CD′E′=60°，
∴∠CMD′=80°-30°-60°=90°，
∵DE=

3

，
∴CM=

3

×

3

2

=

3

2

，D′M=

1

2

D′E′=

3

2

，
又∵AC=2，
∴AM=2-

3

2

=

1

2

，
∴△AD′M的面积=

1

2

AM·D′M=

1

2

×

1

2

×

3

2

=

3

8

．