试题

如图1，E是等腰Rt△ABC边AC上的一个动点（点E与A、C不重合），以CE为一边在Rt△ABC作等腰Rt△CDE，连接AD，BE．我们探究下列图中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的等腰Rt△CDE绕着点C按顺时针方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图6），且AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第（2）题图5中，连接BD、AE，且a=4，b=3，k=

1

2

，求BD²+AE²的值．

解：（1）①如图1，结论：AD=BE，AD⊥BE；
②如图2AD=BE，AD⊥BE仍然成立．
∵△ABC、△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
又∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
设AD、BE交点为G，
则∠ABG+∠BAG=∠ABG+∠BAC+∠CAD
=∠ABG+∠BAC+∠CBE
=∠CAB+∠CBA
=90°，
∴∠AGB=180°-（∠ABG+∠BAG）=180°-90°=90°，
∴AD⊥BE；

（2）如图5，AD⊥BE成立，AD=BE不成立．
∵△ABC、△DEF是直角三角形，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
∵AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb，
∴

AC

BC

=

CD

CE

=

a

b

，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，

AD

BE

=

AC

BC

=

a

b

，
∵a≠b，
∴AD=BE不成立，
设AD、BE交点为G，
则∠ABG+∠BAG=∠ABG+∠BAC+∠CAD
=∠ABG+∠BAC+∠CBE
=∠CAB+∠CBA
=90°，
∴∠AGB=180°-（∠ABG+∠BAG）=180°-90°=90°，
∴AD⊥BE；

（3）在Rt△ABG中，AG²+BG²=AB²，
在Rt△DEG中，DG²+EG²=DE²，
∴AB²+DE²=AG²+BG²+DG²+EG²=（BG²+DG²）+（AG²+EG²）=BD²+AE²，
∵a=4，b=3，k=

1

2

，
∴AC=a=4，BC=b=3，CD=ka=2，CE=kb=

3

2

，
根据勾股定理，AB²=AC²+BC²=4²+3²=25，
DE²=CD²+CE²=2²+（

3

2

）²=

25

4

，
∴BD²+AE²=25+

25

4

=

125

4

．
解：（1）①如图1，结论：AD=BE，AD⊥BE；
②如图2AD=BE，AD⊥BE仍然成立．
∵△ABC、△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
又∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
设AD、BE交点为G，
则∠ABG+∠BAG=∠ABG+∠BAC+∠CAD
=∠ABG+∠BAC+∠CBE
=∠CAB+∠CBA
=90°，
∴∠AGB=180°-（∠ABG+∠BAG）=180°-90°=90°，
∴AD⊥BE；

（2）如图5，AD⊥BE成立，AD=BE不成立．
∵△ABC、△DEF是直角三角形，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
∵AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb，
∴

AC

BC

=

CD

CE

=

a

b

，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，

AD

BE

=

AC

BC

=

a

b

，
∵a≠b，
∴AD=BE不成立，
设AD、BE交点为G，
则∠ABG+∠BAG=∠ABG+∠BAC+∠CAD
=∠ABG+∠BAC+∠CBE
=∠CAB+∠CBA
=90°，
∴∠AGB=180°-（∠ABG+∠BAG）=180°-90°=90°，
∴AD⊥BE；

（3）在Rt△ABG中，AG²+BG²=AB²，
在Rt△DEG中，DG²+EG²=DE²，
∴AB²+DE²=AG²+BG²+DG²+EG²=（BG²+DG²）+（AG²+EG²）=BD²+AE²，
∵a=4，b=3，k=

1

2

，
∴AC=a=4，BC=b=3，CD=ka=2，CE=kb=

3

2

，
根据勾股定理，AB²=AC²+BC²=4²+3²=25，
DE²=CD²+CE²=2²+（

3

2

）²=

25

4

，
∴BD²+AE²=25+

25

4

=

125

4

．