试题

题目：
青果学院如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋90°后得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）当AB=10，AD：DC=2：3时，求DE的长．
答案
解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠A=45°，
∵△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋90°后得到△CBE，
∴∠BCE=∠A=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°；

（2）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=
2
AB=10
2
，
∵AD：DC=2：3，
∴AD=
2
5
AC=4
2
，DC=
3
5
AC=6
2
，
∵△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋90°后得到△CBE，
∴CE=AD=4
2
，
在Rt△DCE中，DE=
(4
2
)2+(6
2
)2
=2
26
．
解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠A=45°，
∵△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋90°后得到△CBE，
∴∠BCE=∠A=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°；

（2）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=
2
AB=10
2
，
∵AD：DC=2：3，
∴AD=
2
5
AC=4
2
，DC=
3
5
AC=6
2
，
∵△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋90°后得到△CBE，
∴CE=AD=4
2
，
在Rt△DCE中，DE=
(4
2
)2+(6
2
)2
=2
26
．
考点梳理
旋转的性质；等腰直角三角形．
（1）根据等腰直角三角形的性质得∠ACB=∠A=45°，再根据旋转的性质得∠BCE=∠A=45°，于是得到∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°；
（2）根据等腰直角三角形的性质得AC=
2
AB=10
2
，再利用AD：DC=2：3得到AD=4
2
，DC=6
2
，则根据旋转的性质得CE=AD=4
2
，然后根据勾股定理计算BE．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形性质以及勾股定理．
压轴题．
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