试题

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．

（1）如图，当点E旋转到DA的延长线上时，△ABE与△ADG面积之间的关系为：S_△ABES_△ADG（填“＜”“=”“＞”）；
（2）如图，当正方形AEFG旋转任意一个角度时，S_△ABES_△ADG（填“＜”“=”“＞”），并说明理由；
（3）如图，四边形ABCD、四边形AEFG和四边形DGMN均为正方形，则S_△ABE、S_△ADG、S_△CDN和S_△GMF的关系是．
（4）某小区中有一块空地，要在其中建三个正方形健身场所，其余空地（图中阴影部分）修成草坪，其中一个正方形的边长为6m．另外两个正方形的边长之和为10m，则草坪的最大面积为m²．

解：（1）相等，故答案为相等．

（2）过点E作△ABE中AB边上的高，交BA延长线于点P，过点G作△ADG中AD边上的高，交AD延长线于点Q，如图，
∵正方形ABCD和正方形AEFG中，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠EAP+∠GAP=90°，
∠QAG+∠GAP=90°，
∴∠EAP=∠DAG，
∵AE=AG，∠EPA=∠AQG=90°，
∴Rt△AEP≌Rt△AGQ，
∴EP=QG，
而AB=AD，
∴S_△ABE=

1

2

AB×EP=S_△ADG=

1

2

AD×QD．
故答案为“=”．


（3）根据（2）的推理过程可知，S_△ABE=S_△ADG=S_△CDN=S_△GMF．
故答案为“相等”．

（4）设AD=6，AG=x，GD=10-x，设△ADG的面积为S，
由海伦公式可知：S=

{8(8-6)(8-x)[8-(10-x)]}

=4

-(x-5)2+9

，
当x=5时，S取得最小值，为12，
则由于四个三角形面积相等，故阴影部分的最大面积为12×4=48．
故答案为48．