试题

题目：
青果学院如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为
3-
3
3
3-
3
3
．
答案
3-
3
3

青果学院解：设B′C′与CD交于点E，连接AE．
在△AB′E与△ADE中，∠AB′E=∠ADE=90°，
∵
AE=AE
AB′=AD
，
∴△AB′E≌△ADE（HL），
∴∠B′AE=∠DAE．
∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，
∴∠B′AE=∠DAE=30°，
∴DE=AD·tan∠DAE=
3
3
．
∴S四边形AB′ED=2S△ADE=2×
1
2
×1×
3
3
=
3
3
．
∴阴影部分的面积=S正方形ABCD-S四边形AB′ED=1-
3
3
=
3-
3
3
．
考点梳理
旋转的性质；正方形的性质．
设B′C′与CD交于点E．由于阴影部分的面积=S正方形ABCD-S四边形AB′ED，又因为S正方形ABCD=1，所以关键是求S四边形AB′ED．为此，连接AE．根据HL易证△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°．在直角△ADE中，由正切的定义得出DE=AD·tan∠DAE=
3
3
．再利用三角形的面积公式求出S四边形AB′ED=2S△ADE．
本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．
压轴题．
找相似题