试题

题目：
青果学院（2010·河北区模拟）如图，在△ABC中，AB=BC=AC=3，O是它的中心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为
3
3
2
3
3
2
．
答案
3
3
2

青果学院解：过A作AE⊥CB于E，
∵AB=BC=AC=3，
∴EB=1.5，
∴AE=
AB2-EB2
=
9-2.25
=
3
3
2
，
∴S△ABC=
1
2
·CB·AE=
1
2
×3×
3
3
2
=
9
4
3
，
∵以等边△ABC的中心O为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，
∴DF=PQ=
1
3
BC，MH=
2
3
BC，
∴DF=
1
2
MH，
∴D点为AM的中点，点F为AH的中点，
同理得到M、Q、H、F为等边△ABC各边的三等分点，
∴每一个小三角形的面积是
1
2
×1×
3
2
=
3
4
，
∴阴影部分的面积是
9
3
4
-3×
3
4
=
3
2
3
．
故答案为：
3
3
2
．
考点梳理
旋转的性质；等边三角形的性质．
根据正三角形的边长是3，求出正三角形的高，从而得正三角形的面积，再根据以等边△ABC的中心O为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′可得到D点为AM的中点，点F为AH的中点，M、Q、H、F为等边△ABC各边的三等分点，得每一个小三角形的面积，即可求出阴影部分的面积．
本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的性质．关键是求出正三角形ABC的面积与每一个小三角形的面积．
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