试题

题目：
（2013·徐汇区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，点D是斜边AB的中点，把△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A′．那么AA′的长是
8
5
5
8
5
5
．
答案
8
5
5

解：设AC与A′B′的交点为E，如图，青果学院
∵∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=
52-42
=3，
∵点D是斜边AB的中点，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B，
∵△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A′，
∴∠B=∠B′，CA=CA′=4，AB=A′B′=5，∠ACB=∠A′CB′=90°，
∴∠B′=∠DCB，
∴A′B′∥BC，
而∠ACB=90°，
∴A′B′⊥AC，
∵
1
2
CE·A′B′=
1
2
A′C·CB′，
∴CE=
12
5
，
∴AE=AC-CE=4-
12
5
=
8
5

在Rt△A′CE中，A′E=
A′C2-CE2
=
16
5
，
在Rt△AA′E中，AA′=
A′E2+AE2
=
(
16
5
)2+(
8
5
)2
=
8
5
5
．
故答案为
8
5
5
．
考点梳理
旋转的性质．
先根勾股定理计算出BC=3，由点D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DC=DB，则∠DCB=∠B，再根据旋转的性质得∠B=∠B′，CA=CA′=4，AB=A′B′=5，∠ACB=∠A′CB′=90°，则∠B′=∠DCB，得到A′B′∥BC，所以A′B′⊥AC，利用面积法可计算出CE=
12
5
，AE=AC-CE=4-
12
5
=
8
5
，然后在Rt△A′CE中，利用勾股定理计算出A′E=
16
5
，再在Rt△AA′E中利用勾股定理可计算出AA′．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理．
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