试题

题目:
青果学院如图,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,在斜边AB上取两点M、N,使∠MCN=45°.设MN=x,BN=n,AM=m,则以x、m、n为边的三角形的形状为(  )



答案
B
青果学院解:由C作垂线交AB于H.
设∠BCN=y,设BH=CH=AH=1.则
NH=tan(45-y)=
1-tany
1+tany

HM=tany
MN=NH+HM=
1-tany
1+tany
+tany
BN=1-NH=
2tany
1+tany

AM=1-tany
令x=tany,则
MN=x+
1-x
1+x

BN=
2x
1+x

AM=1-x
AM2+BN2=(1-x)2+(
2x
1+x
2=(x+
1-x
1+x
2=MN2
∴这三条线段可做成直角三角形.
故选B.
考点梳理
勾股定理的逆定理;全等三角形的判定与性质;旋转的性质.
由C作垂线交AB于H,设∠BCN=y,设BH=CH=AH=1,从而用正切函数表示出NH,HM,MN,BN,AM,再将x=tany代入化简,根据勾股定理的逆定理可得到AM2+BN2=MN2,从而可判定以MN,BN,AM为边的三角形是直角三角形.
此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的逆定理以及全等三角形的判定和性质,难度适中.
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