试题

如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°得△ADF，连接EF，P为EF的中点，则下列结论：
①∠AEF=45°②EF=2CE③∠DAP=∠CFE④∠ADP=45°⑤PD∥AF中，正确的个数是（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

B
解：①∵△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°得到△ADF．
∴△ABE≌△ADF，∠FAE=90°，
∴AE=AF，即△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°．
故①正确；

②如图，连接CP．
∵∠ECF=90°，∴当∠CFE=30°时，EF=2EC．
∴EF不一定等于2EC．
故②不正确；

③∵P为EF的中点，AE=AF，
∴∠APF=90°．
∵∠APF=∠ADF=90°，
∴点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，
∴∠DAP=∠DFP，即∠DAP=∠CFE．
故③正确；

④∵△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF=AFE=45°．
又∵点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，
∴∠ADP=∠AFP，即∠ADP=∠AFE=45°．
故④正确；

⑤如图，连接AC、BD交于点O．
∵∠ADP=45°，
∴点P在正方形ABCD的对角线BD上．
假设PD∥AF．
∵∠PAE=90°，即FA⊥AE，
∴DP⊥AE．
又∵AC⊥BD，
∴AE与AC重合，这与已知图形相矛盾，
∴PD与AE不平行．
故⑤错误．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选B．