试题

题目：
青果学院如图：已知△ABC的三条中线AD=15、BE=12、CF=9，求△ABC的面积．
答案
解：如图，把△BDG绕点D作中心对称变换成△CDM，青果学院
∴CG=
2
3
CF=6，CM=BG=
2
3
BE=8，GM=2GD=
2
3
AD=10，
∴△GCM是直角三角形，即∠GCM=90°，
∴S△GCM=
1
2
CG·CM=24，
∴S△BGC=S△GCM=24，
∴S△ABC=3S△BGC=72．
解：如图，把△BDG绕点D作中心对称变换成△CDM，青果学院
∴CG=
2
3
CF=6，CM=BG=
2
3
BE=8，GM=2GD=
2
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AD=10，
∴△GCM是直角三角形，即∠GCM=90°，
∴S△GCM=
1
2
CG·CM=24，
∴S△BGC=S△GCM=24，
∴S△ABC=3S△BGC=72．
考点梳理
旋转的性质；三角形的面积；直角三角形的性质；勾股定理的逆定理．
如图，首先把△BDG绕点D作中心对称变换得到△CDM，然后根据重心的性质可以分别得到CG=
2
3
CF=6，CM=BG=
2
3
BE=8，GM=2GD=
2
3
AD=10，由此利用勾股定理的逆定理可以证明△GCM是直角三角形，即∠GCM=90°，再利用三角形的面积公式求出S△GCM，最后可以得到S△BGC=S△GCM=24，而S△ABC=3S△BGC，由此即可求解．
此题分别考查了旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，其中对于中线问题一般可以尝试中心变换，此题把三条中线的有关线段集中在一起，构造出一个规则图形--直角三角形．
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