试题

在△ABC中，∠ABC=90°，BC=AB，P是内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，试求∠APB的度数．

解：∵∠ABC=90°，BC=AB，
∴把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，如图，
∴BD=BP=2，AD=PC=3，∠PBD=90°，
∴△PBD为等腰直角三角形，
∴PD=

2

PB=2

2

，∠DPB=45°，
在△APD中，AP=1，PD=2

2

，AD=3，
∵1²+（2

2

）²=3²，
∴AP²+PD²=AD²，
∴△APD为直角三角形，
∴∠APD=90°，
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°．
解：∵∠ABC=90°，BC=AB，
∴把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，如图，
∴BD=BP=2，AD=PC=3，∠PBD=90°，
∴△PBD为等腰直角三角形，
∴PD=

2

PB=2

2

，∠DPB=45°，
在△APD中，AP=1，PD=2

2

，AD=3，
∵1²+（2

2

）²=3²，
∴AP²+PD²=AD²，
∴△APD为直角三角形，
∴∠APD=90°，
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°．