试题

已知△ABD和△BEP均为等腰直角△，∠BAD=∠BEP=90゜，点O为BD的中点．
（1）如图，点P、E分别在AB、BD上，求证：AP=

2

OE；
（2）将图1中的△BPE绕B点顺时针旋转45゜，问（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（1）证明：∵△ABD为等腰直角三角形，∠BAD=∠BEP=90゜，
∴设AB=AD=a，则BD=

2

a．
又∵点O为BD的中点，
∴OB=

1

2

BD=

2

2

a．
同理，设EP=BE=b，则BP=

2

b．
∴AP=AB-BP=a-

2

b，OE=OB-BE=

2

2

a-b，
则

AP

OE

=

a- 2 b

2 2 a-b

=

2

，
∴AP=

2

OE；

（2）∵△BEP是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BPE=45°，
∵△ABD是等腰直角三角形，O是BD的中点，
∴AO⊥BD，
∴∠BOA=∠BEP=90°，∠BAO=180°-∠BOA-∠B=45°，
∴△BOA∽△BEP，
∵

BP

BE

=

BA

BO

=

2

，
∴

AP

OE

=

2

，
∴AP=

2

OE．
（1）证明：∵△ABD为等腰直角三角形，∠BAD=∠BEP=90゜，
∴设AB=AD=a，则BD=

2

a．
又∵点O为BD的中点，
∴OB=

1

2

BD=

2

2

a．
同理，设EP=BE=b，则BP=

2

b．
∴AP=AB-BP=a-

2

b，OE=OB-BE=

2

2

a-b，
则

AP

OE

=

a- 2 b

2 2 a-b

=

2

，
∴AP=

2

OE；

（2）∵△BEP是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BPE=45°，
∵△ABD是等腰直角三角形，O是BD的中点，
∴AO⊥BD，
∴∠BOA=∠BEP=90°，∠BAO=180°-∠BOA-∠B=45°，
∴△BOA∽△BEP，
∵

BP

BE

=

BA

BO

=

2

，
∴

AP

OE

=

2

，
∴AP=

2

OE．