试题

在△ABC中，∠A=∠B=30°，∠MCN=60°，∠MCN的两边交AB边于E、F两点，将∠MCN绕C点旋转．
（1）画出△BCF绕点C顺时针旋转120゜后的△ACK；
（2）在（1）中，若AE²+EF²=BF²，求证：BF=

2

CF；
（3）在（2）的条件下，若AC=

3

+1，直接写出EF的长．

（1）解：如图，

（2）证明：连结KE，作KH⊥AC于H，如图，
∵∠A=∠B=30°，∠MCN=60°，
∴∠ACB=120°，
∴∠ACE+∠BCF=60°，
∵△BCF绕点C顺时针旋转120゜后的△ACK，
∴BF=AK，∠KCA=∠FCB，CK=CF，∠KAC=∠B=30°，
∴∠KCE=∠KCA+∠ACE=∠FCB+∠ACE=60°，
∴∠KCE=∠FCE，
在△CKE和△CFE中

CK=CF ∠KCE=∠FCE CE=CE

，
∴△CKE≌△CFE，
∴KE=EF，
∵AE²+EF²=BF²，
∴AE²+KE²=AK²，
∴△AEK为直角三角形，
∴∠AEK=90°，
∴∠KEC=∠FEC=45°，
∴∠BCF=180°-45°-60°-30°=45°，
∴∠KCA=45°，
设KH=a，在Rt△KHC中，KC=

2

a；在Rt△KHA中，AK=2a，
∴AK：KC=2a：

2

a=

2

，
∴BF：CF=

2

，
即BF=

2

CF；

（3）解：设KH=a，在Rt△KHC中，HC=a；在Rt△KHA中，AH=

3

a，
∴AC=AH+HC=

3

a+a=

3

+1，解得a=1，
∴AK=2a=2，
在Rt△AEK中，∠KAE=∠KAC+∠CAE=60°，
∴∠AKE=30°，
∴AE=

1

2

AK=1，
∴KE=

3

AE=

3

，
∴EF=

3

．
（1）解：如图，

（2）证明：连结KE，作KH⊥AC于H，如图，
∵∠A=∠B=30°，∠MCN=60°，
∴∠ACB=120°，
∴∠ACE+∠BCF=60°，
∵△BCF绕点C顺时针旋转120゜后的△ACK，
∴BF=AK，∠KCA=∠FCB，CK=CF，∠KAC=∠B=30°，
∴∠KCE=∠KCA+∠ACE=∠FCB+∠ACE=60°，
∴∠KCE=∠FCE，
在△CKE和△CFE中

CK=CF ∠KCE=∠FCE CE=CE

，
∴△CKE≌△CFE，
∴KE=EF，
∵AE²+EF²=BF²，
∴AE²+KE²=AK²，
∴△AEK为直角三角形，
∴∠AEK=90°，
∴∠KEC=∠FEC=45°，
∴∠BCF=180°-45°-60°-30°=45°，
∴∠KCA=45°，
设KH=a，在Rt△KHC中，KC=

2

a；在Rt△KHA中，AK=2a，
∴AK：KC=2a：

2

a=

2

，
∴BF：CF=

2

，
即BF=

2

CF；

（3）解：设KH=a，在Rt△KHC中，HC=a；在Rt△KHA中，AH=

3

a，
∴AC=AH+HC=

3

a+a=

3

+1，解得a=1，
∴AK=2a=2，
在Rt△AEK中，∠KAE=∠KAC+∠CAE=60°，
∴∠AKE=30°，
∴AE=

1

2

AK=1，
∴KE=

3

AE=

3

，
∴EF=

3

．