试题

在等腰△ABC中，AB=AC．
（1）若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC（或其延长线）于D，E，求证：2AB＜AD+AE．
（2）若P是△ABC内一点，且PB＜PC，求证：∠APB＞∠APC．

证明：（1）如图，过B点作BF∥AC，交DE于F，
∵BM=MC，
∴△BFM≌△CEM，
∴∠ABC=∠ACB=∠CBF．
∵∠BFD是△BFM的外角，∴∠BFD＞∠CBF．
∵∠ABC是△BDM的外角，∴∠ABC＞∠D．
故∠BFD＞∠D．∴在△BDF中，BF＜BD．
∴2AB=AB+AC=AD-BD+AE+CE=AD+AE-（BD-BF）＜AD+AE．

（2）如图，在△ABC外作△ACP′，使AP′=AP，∠P′AC=∠PAB，连接PP′，
∵AB=AC，
∴△ACP′≌△ABP，
∴∠AP′C=∠APB，CP′=BP，
在△CPP′中，CP′=BP＜PC，
∴∠PP′C＞P′PC，
∴∠PP′C+∠AP′P＞P′PC+∠APP′，
即∠AP′C＞∠APC，
∴∠APB＞∠APC．
证明：（1）如图，过B点作BF∥AC，交DE于F，
∵BM=MC，
∴△BFM≌△CEM，
∴∠ABC=∠ACB=∠CBF．
∵∠BFD是△BFM的外角，∴∠BFD＞∠CBF．
∵∠ABC是△BDM的外角，∴∠ABC＞∠D．
故∠BFD＞∠D．∴在△BDF中，BF＜BD．
∴2AB=AB+AC=AD-BD+AE+CE=AD+AE-（BD-BF）＜AD+AE．

（2）如图，在△ABC外作△ACP′，使AP′=AP，∠P′AC=∠PAB，连接PP′，
∵AB=AC，
∴△ACP′≌△ABP，
∴∠AP′C=∠APB，CP′=BP，
在△CPP′中，CP′=BP＜PC，
∴∠PP′C＞P′PC，
∴∠PP′C+∠AP′P＞P′PC+∠APP′，
即∠AP′C＞∠APC，
∴∠APB＞∠APC．