试题

题目：
观察下列分母有理化的计算：
1
2
+1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
3
-
2
，
1
4
-
3
=
4
-
3
，
1
5
+
4
=
5
-
4
…在计算结果中找出规律，用含字母n（n表示大于0的自然数）表示；再利用这一规律计算下列式子的值：（
1
2
+
1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2014
+
2013
）（
2014
+1） 的值．
答案
解：∵
1
2
+1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
3
-
2
，
1
4
-
3
=
4
-
3
，
1
5
+
4
=
5
-
4
，
…，
∴规律为：
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
．
（
1
2
+
1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2014
+
2013
）（
2014
+1） 
=（
2
-
1
+
3
-
2
+
4
-
3
+…+
2014
-
2013
）（
2014
+1） 
=（
2014
-1）（
2014
+1） 
=2014-1
=2013．
解：∵
1
2
+1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
3
-
2
，
1
4
-
3
=
4
-
3
，
1
5
+
4
=
5
-
4
，
…，
∴规律为：
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
．
（
1
2
+
1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2014
+
2013
）（
2014
+1） 
=（
2
-
1
+
3
-
2
+
4
-
3
+…+
2014
-
2013
）（
2014
+1） 
=（
2014
-1）（
2014
+1） 
=2014-1
=2013．
考点梳理
分母有理化；规律型：数字的变化类．
根据所给特例，不难发现：
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
，根据这一性质即可化简．
本题考查了分母有理化．解题的关键是发现规律：
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
．
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