试题

题目：
设m=
1
1+
2
+
1
2
+
3
+…+
1
2011
+
2012
，则m（m-
2012
）的值=
1-2
503
1-2
503
．
答案
1-2
503

解：∵m=
1
2
+1
+
1
3
+
2
+…+
1
2012
+
2011

=
2
-1
(
2
+1)(
2
-1)
+
3
-
2
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
+…+
2012
-
2011
(
2012
+
2011
)(
2012
-
2011
)

=
2
-1+
3
-
2
+…+
2012
-
2011

=
2012
-1，
∴m（m-
2012
）=（
2012
-1）（
2012
-1-
2012
）=1-
2012
=1-2
503
．
故答案为1-2
503
．
考点梳理
分母有理化．
先计算m的值，先把各分母有理化得到m=
2
-1
(
2
+1)(
2
-1)
+
3
-
2
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
+…+
2012
-
2011
(
2012
+
2011
)(
2012
-
2011
)
，化简得到m=
2012
-1，然后把m的值代入m（m-
2012
）进行计算，再把结果化简即可．
本题考查了分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化；
a
-
b
的有理化因式为
a
+
b
分母有理化．
计算题．
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