试题

如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；
（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．

解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=75°，∠NOC=

1

2

∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°．   

（2）如图2，∠MON=

1

2

α，
理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=

1

2

α+30°，∠NOC=

1

2

∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（

1

2

α+30°）-30°=

1

2

α．   
 
（3）如图3，∠MON=

1

2

α，与β的大小无关．    
理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．         
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=

1

2

（α+β），
∠NOC=

1

2

∠BOC=

1

2

β，
∴∠AON=∠AOC-∠NOC=α+β-

1

2

β=α+

1

2

β．       
∴∠MON=∠MOC-∠NOC
=

1

2

（α+β）-

1

2

β=

1

2

α           
即∠MON=

1

2

α．
解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=75°，∠NOC=

1

2

∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°．   

（2）如图2，∠MON=

1

2

α，
理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=

1

2

α+30°，∠NOC=

1

2

∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（

1

2

α+30°）-30°=

1

2

α．   
 
（3）如图3，∠MON=

1

2

α，与β的大小无关．    
理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．         
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=

1

2

（α+β），
∠NOC=

1

2

∠BOC=

1

2

β，
∴∠AON=∠AOC-∠NOC=α+β-

1

2

β=α+

1

2

β．       
∴∠MON=∠MOC-∠NOC
=

1

2

（α+β）-

1

2

β=

1

2

α           
即∠MON=

1

2

α．