试题

已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系？并说明理由．

解：（1）∵在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-80°-40°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=

1

2

∠BAC=30°；

（2）∠EDF=

1

2

（∠C-∠DAC）．理由如下：
在△DAC中，∵∠ADC+∠DAC+∠C=180°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=

1

2

∠ADC=

1

2

（180°-∠DAC-∠C），
∵DE是△ADC的高，
∴∠CDE=90°-∠C，
∴∠EDF=∠CDF-∠CDE=

1

2

（180°-∠DAC-∠C）-（90°-∠C）=

1

2

（∠C-∠DAC）．
故∠EDF=

1

2

（∠C-∠DAC）．
解：（1）∵在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-80°-40°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=

1

2

∠BAC=30°；

（2）∠EDF=

1

2

（∠C-∠DAC）．理由如下：
在△DAC中，∵∠ADC+∠DAC+∠C=180°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=

1

2

∠ADC=

1

2

（180°-∠DAC-∠C），
∵DE是△ADC的高，
∴∠CDE=90°-∠C，
∴∠EDF=∠CDF-∠CDE=

1

2

（180°-∠DAC-∠C）-（90°-∠C）=

1

2

（∠C-∠DAC）．
故∠EDF=

1

2

（∠C-∠DAC）．