试题

观察下列图形：

如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：
（1）设第n个图形和第n-1个图形中所有三角形的个数分别为a_n、a_n-1，问：它们之间有什么数量关系？请写出这个关系式．
（2）请你用含n的代数式来表示a_n，并证明你的结论．

解：（1）按题中图形的排列规律可得：an=3a_n-1+2．

（2）由（1）得：an=3a_n-1+2，a_n-1=3a_n-2+2，两式相减得：
an-a_n-1=3（a_n-1-a_n-2）①
当n分别取3、4、5、n时，由①式可得下列（n-2）个等式：
a₃-a₂=3（a₂-a₁），a₄-a₃=3（a₃-a₂），a₅-a₄=3（a₄-a₃），
an-a_n-1=3（a_n-1-a_n-2）．
显然an-a_n-1≠0，以上（n-2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：
an-a_n-1=3^n-2（a₂-a₁）②
∵a₂-a₁=17-5=12，由（1）又可知a_n-1=

1

3

（a_n-2），
将它们代入②式即得：a_n=2×3ⁿ-1．
解：（1）按题中图形的排列规律可得：an=3a_n-1+2．

（2）由（1）得：an=3a_n-1+2，a_n-1=3a_n-2+2，两式相减得：
an-a_n-1=3（a_n-1-a_n-2）①
当n分别取3、4、5、n时，由①式可得下列（n-2）个等式：
a₃-a₂=3（a₂-a₁），a₄-a₃=3（a₃-a₂），a₅-a₄=3（a₄-a₃），
an-a_n-1=3（a_n-1-a_n-2）．
显然an-a_n-1≠0，以上（n-2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：
an-a_n-1=3^n-2（a₂-a₁）②
∵a₂-a₁=17-5=12，由（1）又可知a_n-1=

1

3

（a_n-2），
将它们代入②式即得：a_n=2×3ⁿ-1．