试题

（2006·广州）在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A₁B₁C₁，使点C_l落在直线BC上（点C_l与点C不重合），
（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB_l与边CB的位置关系，并加以证明；
（2）当∠C=60°时，写出边AB_l与边CB的位置关系（不要求证明）；
（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB₁C₁（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．

解：（1）AB₁∥BC．
证明：由已知得△ABC≌△AB₁C₁，
∴∠BAC=∠B₁AC₁，∠B₁AB=∠C₁AC，
∵AC₁=AC，
∴∠AC₁C=∠ACC₁，
∵∠C₁AC+∠AC₁C+∠ACC₁=180°，
∴∠C₁AC=180°-2∠ACC₁，
同理，在△ABC中，
∵BA=BC，
∴∠ABC=180°-2∠ACC₁，
∴∠ABC=∠C₁AC=∠B₁AB，
∴AB₁∥BC．（5分）

（2）如图1，∠C=60°时，AB₁∥BC．（7分）

（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．
证明：显然△ABC≌△AB₁C₁，
∴∠BAC=∠B₁AC₁，
∴∠B₁AB=∠C₁AC，
∵AC₁=AC，
∴∠AC₁C=∠ACC₁，
∵∠C₁AC+∠AC₁C+∠ACC₁=180°，
∴∠C₁AC=180°-2∠ACC₁，
同理，在△ABC中，
∵BA=BC，
∴∠ABC=180°-2∠ACC₁，
∴∠ABC=∠C₁AC=∠B₁AB，
∴AB₁∥BC．（13分）
解：（1）AB₁∥BC．
证明：由已知得△ABC≌△AB₁C₁，
∴∠BAC=∠B₁AC₁，∠B₁AB=∠C₁AC，
∵AC₁=AC，
∴∠AC₁C=∠ACC₁，
∵∠C₁AC+∠AC₁C+∠ACC₁=180°，
∴∠C₁AC=180°-2∠ACC₁，
同理，在△ABC中，
∵BA=BC，
∴∠ABC=180°-2∠ACC₁，
∴∠ABC=∠C₁AC=∠B₁AB，
∴AB₁∥BC．（5分）

（2）如图1，∠C=60°时，AB₁∥BC．（7分）

（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．
证明：显然△ABC≌△AB₁C₁，
∴∠BAC=∠B₁AC₁，
∴∠B₁AB=∠C₁AC，
∵AC₁=AC，
∴∠AC₁C=∠ACC₁，
∵∠C₁AC+∠AC₁C+∠ACC₁=180°，
∴∠C₁AC=180°-2∠ACC₁，
同理，在△ABC中，
∵BA=BC，
∴∠ABC=180°-2∠ACC₁，
∴∠ABC=∠C₁AC=∠B₁AB，
∴AB₁∥BC．（13分）