试题

在△ABC中，AC=BC，

（1）如图①，如果CD为底边AB上的中线，∠BCD=20°，CD=CE，则∠ADE=°
（2）如图②，如果CD为底边AB上的中线，∠BCD=30°，CD=CE，则∠ADE=°
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BCD与∠ADE之间有什么关系？请用式子表示：
（4）如图③，CD不是AB上的中线，CD=CE，是否依然有上述关系？如果有，请写出来，并说明理由．

解：（1）∵AC=BC，CD为底边AB上的中线，
∴∠ECD=∠BCD=20°，CD⊥AB，
∴∠A=90°-∠ECD=70°．
又∵CD=CE，
∴∠CED=

180°-∠ECD

2

=80°，
∴∠ADE=∠CED-∠A=80°-70°=10°；     

 （2）∵AC=BC，CD为底边AB上的中线，
∴∠ECD=∠BCD=30°，CD⊥AB，
∴∠A=90°-∠ECD=60°．
又∵CD=CE，
∴∠CED=

180°-∠ECD

2

=75°，
∴∠ADE=∠CED-∠A=75°-60°=15°；     

 （3）∵∠BCD=20°时，∠ADE=10°；
∠BCD=30°时，∠ADE=15°；
∴∠BCD=2∠ADE．

（4）依然有∠BCD=2∠ADE．理由如下：
∵AC=BC，∴∠A=∠B．
∵∠BCD+∠B=∠ADE+∠CDE，
∴∠BCD+∠A=∠ADE+∠CDE．
∵CD=CE，∴∠CED=∠CDE，
∴∠BCD+∠A=∠ADE+∠CED，
∵∠CED=∠A+∠ADE，
∴∠BCD+∠A=∠ADE+∠A+∠ADE，
∴∠BCD=2∠ADE．