试题
题目：
有1+8+27+64=100，也许我们会发现它可以表示为下列这种奇妙的形式：1
3
+2
3
+3
3
+4
3
=10
2
，那么逐个自然数的立方和1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
是否总是一个平方数？为了更完整，让我们把n=1，n=2，n=3的情况加进去，并按照规律排列起来．
1=1=1
2
1+8=9=3
2
1+8+27=36=6
2
1+8+27+64=100=10
2
1+8+27+64+125=225=15
2
至此，我们用归纳法可以大胆的猜想，开头几个立方数的和是一个平方数！请同学们找到规律猜想1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+…+n
3
=
[
n(n+1)
2
]
2
[
n(n+1)
2
]
2
（结果用含n的式子表示）
答案
[
n(n+1)
2
]
2
解：由题意得出：
1
3
=1=1
2
；
1
3
+2
3
=9=3
2
；
1
3
+2
3
+3
3
=36=6
2
；
1
3
+2
3
+3
3
+4
3
=100=10
2
；
1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
=225=15
2
．
…
则1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
=（1+2+3+…+n）
2
=[
n(n+1)
2
]
2
；
故答案为：[
n(n+1)
2
]
2
．
考点梳理
考点
分析
点评
规律型：数字的变化类．
观察等式左右两边各数的底数可知，1=1，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+2+3+4+5=15，由此得出一般规律．
本题考查了数字的变化规律．关键是通过观察等式左右两边的数字变化，得出一般规律．
找相似题
观察下面的几个算式：
13×17=221可写成100×1×（1+1）+21；
23×27=621可写成100×2×（2+1）+21；
33×37=1221可写成100×3×（3+1）+21；
43×47=2021可写成100×4×（4+1）+21；
…
根据上面规律填空：
（1）83×87可写成
100×8×（8+1）+21
100×8×（8+1）+21
．
（2）（10n+3）（10n+7）可写成
100n（n+1）+21
100n（n+1）+21
．
（3）计算：1993×1997=
3980021
3980021
．
张老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
数据
1
2
3
4
…
输出
数据
1
2
1
4
1
8
1
16
…
那么，当输入数据是6时，输出的数据是
1
64
1
64
．
一组按规律排列的数：
9
5
，
16
12
，
25
21
，
36
32
，…请推断第n个数是
(n+2
)
2
n
2
+4n
(n+2
)
2
n
2
+4n
．
观察下列各式：①4=2
2
；②4+12=4
2
；③4+12+20=6
2
；④4+12+20+28=8
2
；…则第n个等式为
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
．
观察下列：1×3=3而3=2
2
-1，3×5=15而15=4
2
-1，5×7=35而35=6
2
-1，…，11×13=143而143=12
2
-1．你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来是
n（n+2）=（n+1）
2
-1
n（n+2）=（n+1）
2
-1
．