试题
题目：
（2012·金平区模拟）研究下列算式，你会发现有什么规律？
①1
3
=1
2
②1
3
+2
3
=3
2
③1
3
+2
3
+3
3
=6
2
④1
3
+2
3
+3
3
+4
3
=10
2
⑤1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
=15
2
…
（1）根据以上算式的规律，请你写出第⑥个算式；
（2）用含n（n为正整数）的式子表示第n个算式；
（3）请用上述规律计算：7
3
+8
3
+9
3
+…+20
3
．
答案
解：（1）第⑥个算式为1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
+6
3
=21
2
；
（2）第n个算式为
1
3
+
2
3
+
3
3
+
4
3
+…+
n
3
=[
n(n+1)
2
]
2
；
（3）7
3
+8
3
+9
3
+…+20
3
=（1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+…+20
3
）-（1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
+6
3
）
=
[
20×(20+1)
2
]
2
-[
6(6+1)
2
]
2
=44100-441=43659．
解：（1）第⑥个算式为1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
+6
3
=21
2
；
（2）第n个算式为
1
3
+
2
3
+
3
3
+
4
3
+…+
n
3
=[
n(n+1)
2
]
2
；
（3）7
3
+8
3
+9
3
+…+20
3
=（1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+…+20
3
）-（1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
+6
3
）
=
[
20×(20+1)
2
]
2
-[
6(6+1)
2
]
2
=44100-441=43659．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
规律型：数字的变化类．
（1）利用类比的方法得到第⑥个算式为 1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
+6
3
=21
2
；
（2）同样利用类比的方法得到第n个算式为
1
3
+
2
3
+
3
3
+
4
3
+…+
n
3
=[
n(n+1)
2
]
2
；
（3）将7
3
+8
3
+9
3
+…+20
3
转化为（1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+…+20
3
）-（1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
+6
3
）后代入总结的规律求解即可．
本题考查了数字的变化类问题，仔细观察每个算式得到本题的通项公式是解决此题的关键．
规律型．
找相似题
观察下面的几个算式：
13×17=221可写成100×1×（1+1）+21；
23×27=621可写成100×2×（2+1）+21；
33×37=1221可写成100×3×（3+1）+21；
43×47=2021可写成100×4×（4+1）+21；
…
根据上面规律填空：
（1）83×87可写成
100×8×（8+1）+21
100×8×（8+1）+21
．
（2）（10n+3）（10n+7）可写成
100n（n+1）+21
100n（n+1）+21
．
（3）计算：1993×1997=
3980021
3980021
．
张老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
数据
1
2
3
4
…
输出
数据
1
2
1
4
1
8
1
16
…
那么，当输入数据是6时，输出的数据是
1
64
1
64
．
一组按规律排列的数：
9
5
，
16
12
，
25
21
，
36
32
，…请推断第n个数是
(n+2
)
2
n
2
+4n
(n+2
)
2
n
2
+4n
．
观察下列各式：①4=2
2
；②4+12=4
2
；③4+12+20=6
2
；④4+12+20+28=8
2
；…则第n个等式为
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
．
观察下列：1×3=3而3=2
2
-1，3×5=15而15=4
2
-1，5×7=35而35=6
2
-1，…，11×13=143而143=12
2
-1．你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来是
n（n+2）=（n+1）
2
-1
n（n+2）=（n+1）
2
-1
．