试题

题目：
观察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，将以上三个等式两边分别相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4

（1）猜想并写出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
；
（2）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
．
答案
1
n
-
1
n+1

解：（1）
1
1×2
=
1
1
-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
…
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；
故答案为
1
n
-
1
n+1
；

（2）原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1

=
n+1-1
n+1

=
n
n+1
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
（1）观察可得结果是分子均为1，分母分别为相邻2个数的分数的差；
（2）利用（1）得到的结果进行计算即可．
考查分数的规律性计算；得到分子为1，分母为相邻2个数的分数的拆分方法是解决本题的关键．
计算题；规律型．
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