试题
题目：
（1）观察一列数a
1
=3，a
2
=9，a
3
=27，a
4
=81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是
3
3
；根据此规律，如果a
n
（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a
6
=
3
6
3
6
，a
n
=
3
n
3
n
；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2
2
+2
3
+…+2
10
的值，可令
S
10
=1+2+
2
2
+
2
3
+…+
2
10
①将①式两边同乘以2，得
2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
10
+2
11
2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
10
+2
11
②，由②减去①式，得S
10
=
2
11
-1
2
11
-1
．
（3）若（1）中数列共有20项，设S
20
=3+9+27+81+…+a
20
，请利用上述规律和方法计算S
20
的值．
（4）设一列数
1，
1
2
，
1
4
，
1
8
，…，
1
2
n-1
的和为S
n
，则S
n
的值为
2-
1
2
n-1
2-
1
2
n-1
．
答案
3
3
6
3
n
2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
10
+2
11
2
11
-1
2-
1
2
n-1
解：（1）∵9÷3=3，27÷9=3，81÷27=3，
∴这个常数是3，
∵a
1
=3=3
1
，a
2
=9=3
2
，a
3
=27=3
3
，a
4
=81=3
4
，…，
∴a
6
=3
6
，a
n
=3
n
；
（2）∵S
10
=1+2+2
2
+2
3
+…+2
10
，①
∴①式两边同乘以2得，2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
10
+2
11
，②
②-①得，S
10
=2
11
-1；
（3）∵S
20
=3+9+27+81+…+3
20
，①
∴3S
20
=9+27+81+…+3
21
，②
②-①得，2S
20
=3
21
-3，
∴S
20
=
1
2
（3
21
-3）；
（4）∵S
n
=1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+…+
1
2
n-1
，①
∴
1
2
S
n
=
1
2
+
1
4
+
1
8
+…+
1
2
n
，②
①-②得，
1
2
S
n
=1-
1
2
n
，
∴S
n
=2-
1
2
n-1
．
故答案为：（1）3，3
6
，3
n
；（2）2S
10
=2+2
2
+2
3
+…+2
10
+2
11
，2
11
-1；（4）2-
1
2
n-1
．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
规律型：数字的变化类．
（1）观察不难发现，后一个数是前一个数的3倍，然后解答即可；
（2）根据运算过程计算即可得解；
（3）根据（2）的方法，等式两边都乘以3，然后相减进行计算即可得解；
（4）把所列等式两边都乘以
1
2
，然后相减即可得解．
本题是对数字变化规律的考查，读懂题目信息并理解数列和的求解求解思路是解题的关键．
规律型．
找相似题
观察下面的几个算式：
13×17=221可写成100×1×（1+1）+21；
23×27=621可写成100×2×（2+1）+21；
33×37=1221可写成100×3×（3+1）+21；
43×47=2021可写成100×4×（4+1）+21；
…
根据上面规律填空：
（1）83×87可写成
100×8×（8+1）+21
100×8×（8+1）+21
．
（2）（10n+3）（10n+7）可写成
100n（n+1）+21
100n（n+1）+21
．
（3）计算：1993×1997=
3980021
3980021
．
张老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
数据
1
2
3
4
…
输出
数据
1
2
1
4
1
8
1
16
…
那么，当输入数据是6时，输出的数据是
1
64
1
64
．
一组按规律排列的数：
9
5
，
16
12
，
25
21
，
36
32
，…请推断第n个数是
(n+2
)
2
n
2
+4n
(n+2
)
2
n
2
+4n
．
观察下列各式：①4=2
2
；②4+12=4
2
；③4+12+20=6
2
；④4+12+20+28=8
2
；…则第n个等式为
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
．
观察下列：1×3=3而3=2
2
-1，3×5=15而15=4
2
-1，5×7=35而35=6
2
-1，…，11×13=143而143=12
2
-1．你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来是
n（n+2）=（n+1）
2
-1
n（n+2）=（n+1）
2
-1
．