试题

题目：
（1）计算并观察下列各式：（x-1）（x+1）=
x2-1
x2-1
；（x-1）（x2+x+1）=
x3-1
x3-1
；（x-1）（x3+x2+x+1）=
x4-1
x4-1
；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格．（x-1）（
x5+x4+x3+x2+x+1
x5+x4+x3+x2+x+1
）=x6-1；
（3）利用你发现的规律计算：（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=
x7-1
x7-1
；
（4）利用该规律计算：1+3+32+33+…+32010．
答案
x2-1

x3-1

x4-1

x5+x4+x3+x2+x+1

x7-1

解：（1）（x-1）（x+1）=x2-1，
（x-1）（x2+x+1）=x3+x2+x-x2-x-1=x3-1；
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4+x3+x2+x-x3-x2-x-1=x4-1，
即答案为：x2-1，x3-1，x4-1；
（2）由（1）可以推出：（x-1）（xn-1+xn-2+…+1））=（xn-1），
所以题目中应填：x7-1；
（3）根据上面推出的规律可得答案为：x5+x4+x3+x2+x+1
（4）1+3+32+33+…+32010=（3-1）（1+3+32+33+…+32010）÷2=
32011-1
2
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
（1）计算：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；可以得出规律：（x-1）（xn-1+xn-2+…+1）=（xn-1），所以得出（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；
（2）利用（1）得出的规律可得出（x-1）（x5+x4+x3+x2+x+1 ）=x6-1；
（3）利用（1）得出的规律可得出（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7-1；
（4）两边乘以（3-1），利用（1）得出的规律可得出1+3+32+33+…+32010=
32011-1
2
．
通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为：（x-1）（xn-1+xn-3+…+1）=（xn-1）．
规律型．
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