试题
题目：
观察下列各式：1
3
=1
2
，1
3
+2
3
=（1+2）
2
，1
3
+2
3
+3
3
=（1+2+3）
2
，1
3
+2
3
+3
3
+4
3
=（1+2+3+4）
2
…
（1）用含自然数n的等式表示上述各式的规律；
（2）利用你的结论计算：20
3
+21
3
+22
3
+…+30
3
．
答案
解：（1）1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
=（1+2+3+…+n）
2
；
（2）根据（1）的结论，得
1
3
+2
3
+3
3
+…+30
3
=（1+2+3+…+30）
2
，1
3
+2
3
+3
3
+…+19
3
=（1+2+3+…+19）
2
，
则20
3
+21
3
+22
3
+…+30
3
=（1+2+3+…+30）
2
-=（1+2+3+…+19）
2
=465
2
-190
2
=180125．
解：（1）1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
=（1+2+3+…+n）
2
；
（2）根据（1）的结论，得
1
3
+2
3
+3
3
+…+30
3
=（1+2+3+…+30）
2
，1
3
+2
3
+3
3
+…+19
3
=（1+2+3+…+19）
2
，
则20
3
+21
3
+22
3
+…+30
3
=（1+2+3+…+30）
2
-=（1+2+3+…+19）
2
=465
2
-190
2
=180125．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
规律型：数字的变化类．
（1）观察已知的等式，发现：等式的左边是连续自然数的立方和，等式的右边是连续自然数的和的平方；
（2）根据（1）中发现的结论，即可求得1
3
+2
3
+3
3
+…+30
3
=（1+2+3+…+30）
2
，1
3
+2
3
+3
3
+…+19
3
=（1+2+3+…+19）
2
，进而求解．
此题能够分别观察等式的左边和右边，正确找到左右两边之间的联系，并正确利用结论进行计算．
规律型．
找相似题
观察下面的几个算式：
13×17=221可写成100×1×（1+1）+21；
23×27=621可写成100×2×（2+1）+21；
33×37=1221可写成100×3×（3+1）+21；
43×47=2021可写成100×4×（4+1）+21；
…
根据上面规律填空：
（1）83×87可写成
100×8×（8+1）+21
100×8×（8+1）+21
．
（2）（10n+3）（10n+7）可写成
100n（n+1）+21
100n（n+1）+21
．
（3）计算：1993×1997=
3980021
3980021
．
张老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
数据
1
2
3
4
…
输出
数据
1
2
1
4
1
8
1
16
…
那么，当输入数据是6时，输出的数据是
1
64
1
64
．
一组按规律排列的数：
9
5
，
16
12
，
25
21
，
36
32
，…请推断第n个数是
(n+2
)
2
n
2
+4n
(n+2
)
2
n
2
+4n
．
观察下列各式：①4=2
2
；②4+12=4
2
；③4+12+20=6
2
；④4+12+20+28=8
2
；…则第n个等式为
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
．
观察下列：1×3=3而3=2
2
-1，3×5=15而15=4
2
-1，5×7=35而35=6
2
-1，…，11×13=143而143=12
2
-1．你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来是
n（n+2）=（n+1）
2
-1
n（n+2）=（n+1）
2
-1
．