试题

观察下列式子：
2×4+1=9
4×6+1=25
6×8+1=49
…
①你发现什么规律？写出第n个等式？
②你写出的等式成立吗？为什么？

解：①从2，4，6，8…是等差数列．
所以a_n=a₁+（n-1）·d
=2+（n-1）×2
=2n
所以第n项为：2n（2n+2）+1=（2n+1）²（4分）
②证明：
左边2n（2n+2）+1=4n²+4n+1=（2n+1）²
左边=右边
当n=1时，
左边=2×（2+2）+1=9，右边=（2+1）²=9
当n=2时，
左边=2×2×（2×2+2）+1=25，右边=（2×2+1）²
当n=3时，
左边=2×3×（2×3+2）+1=49，右边=（2×3+1）²
左边=右边
所以2n（2n+2）+1=4n²+4n+1=（2n+1）²成立．
解：①从2，4，6，8…是等差数列．
所以a_n=a₁+（n-1）·d
=2+（n-1）×2
=2n
所以第n项为：2n（2n+2）+1=（2n+1）²（4分）
②证明：
左边2n（2n+2）+1=4n²+4n+1=（2n+1）²
左边=右边
当n=1时，
左边=2×（2+2）+1=9，右边=（2+1）²=9
当n=2时，
左边=2×2×（2×2+2）+1=25，右边=（2×2+1）²
当n=3时，
左边=2×3×（2×3+2）+1=49，右边=（2×3+1）²
左边=右边
所以2n（2n+2）+1=4n²+4n+1=（2n+1）²成立．