试题

题目：
定义：a是不为1的有理数，我们把
1
1-a
称为a的差倒数，如：2的差倒数是
1
1-2
=-1，-1的差倒数是
1
1-(-1)
=
1
2
． 已知a1=-
1
3
，a2是a1差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推．
（1）求a2、a3、a4的值．  
（2）求a2011的值．
答案
解：（1）∵a1=-
1
3
，a2是a1差倒数，
∴a2=
1
1-(-
1
3
)
=
3
4
，
∵a3是a2的差倒数，
∴a3=
1
1-
3
4
=4
∵a4是a3的差倒数，
∴a4=
1
1-4
=-
1
3
；

（2）∵a1=-
1
3
，a2=
3
4
，a3=4，a4=-
1
3
；
2011÷3=670…1，
∴a2011=-
1
3
．
解：（1）∵a1=-
1
3
，a2是a1差倒数，
∴a2=
1
1-(-
1
3
)
=
3
4
，
∵a3是a2的差倒数，
∴a3=
1
1-
3
4
=4
∵a4是a3的差倒数，
∴a4=
1
1-4
=-
1
3
；

（2）∵a1=-
1
3
，a2=
3
4
，a3=4，a4=-
1
3
；
2011÷3=670…1，
∴a2011=-
1
3
．
考点梳理
规律型：数字的变化类；倒数．
（1）根据差倒数的定义分别求出a2、a3、a4的值即可；
（2）利用（1）中所求即可得出变化数据规律，即每3个循环一次，进而得出a2011的值．
此题主要考查了新定义以及数字变化规律，根据已知得出数据之间的变化规律是解题关键．
新定义．
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