试题

题目：
如图所示，每个圆周上的数是按下述规则逐次标出的：第一次先在圆周上标出
1
9
，
2
9
两个数（如图1）；第二次又在第一次标出的两个之间的圆周上，分别标出这两个数的和（如图2）；第三次再在第二次标出的所有相邻两数之间的圆周上，分别标出相邻两数的和（如图3）；按此规则，依此类推，一直标下去．
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（1）设n是正整数，记第n次标完数字后，圆周上所有数字的和为Sn，猜想并写出Sn与Sn-1的关系；
（2）求S2010的值．
答案
解：（1）∵当n=1时，S1=
3
9
，
当n=2时，S2=
9
9
，
当n=3时，S3=
27
9
，
∴3S1=S2，3S2=S3，Sn=3n-2，
∴Sn=3Sn-1，
（2）∵Sn=3n-2，
∴S2010=32008．
解：（1）∵当n=1时，S1=
3
9
，
当n=2时，S2=
9
9
，
当n=3时，S3=
27
9
，
∴3S1=S2，3S2=S3，Sn=3n-2，
∴Sn=3Sn-1，
（2）∵Sn=3n-2，
∴S2010=32008．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
（1）当n=1时，S=
3
9
，当n=2时，S=
9
9
，当n=3时，S=
27
9
，由此可知每次标玩后的和是前一次标完后的和的3倍，即可推出Sn与Sn-1的关系；
（2）根据（1）所推出的结论可知，第n次标完后，Sn=3n-2，所以S2010的值为32008．
本题主要考查分析总结归纳能力，关键在于通过计算每次标注完的和，由数的变化推出数的变化规律．
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