试题

a是不为1的有理数，我们把

1

1-a

称为a的差倒数．如：2的差倒数是

1

1-2

=-1，现已知a1=

1

2

，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根据（1）的计算结果，请猜想并写出a₂₀₁₀·a₂₀₁₁·a₂₀₁₂的值．
（3）计算：a₁·a₂·a₃…a₂₀₁₀·a₂₀₁₁·a₂₀₁₂．

解：（1）a₁=

1

2

，
a₂=

1

1- 1 2

=2，
a₃=

1

1-2

=-1，
a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；

（2）∵2010=3×670，
∴a₂₀₁₀=a₃=-1，a₂₀₁₁=a₁=

1

2

，a₂₀₁₂=a₂=2，
∴a₂₀₁₀·a₂₀₁₁·a₂₀₁₂=-1×

1

2

×2=-1；

（3）∵a₁·a₂·a₃=a₄·a₅·a₆=…a₂₀₀₈·a₂₀₀₉·a₂₀₁₀=

1

2

×2×（-1）=-1，
∴a₁·a₂·a₃…a₂₀₁₀·a₂₀₁₁·a₂₀₁₂．=（a₁·a₂·a₃）·（a₄·a₅·a₆）…（a₂₀₀₈·a₂₀₀₉·a₂₀₁₀）·a₂₀₁₁·a₂₀₁₂=（-1）⁶⁷⁰·

1

2

·2=-1．
解：（1）a₁=

1

2

，
a₂=

1

1- 1 2

=2，
a₃=

1

1-2

=-1，
a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；

（2）∵2010=3×670，
∴a₂₀₁₀=a₃=-1，a₂₀₁₁=a₁=

1

2

，a₂₀₁₂=a₂=2，
∴a₂₀₁₀·a₂₀₁₁·a₂₀₁₂=-1×

1

2

×2=-1；

（3）∵a₁·a₂·a₃=a₄·a₅·a₆=…a₂₀₀₈·a₂₀₀₉·a₂₀₁₀=

1

2

×2×（-1）=-1，
∴a₁·a₂·a₃…a₂₀₁₀·a₂₀₁₁·a₂₀₁₂．=（a₁·a₂·a₃）·（a₄·a₅·a₆）…（a₂₀₀₈·a₂₀₀₉·a₂₀₁₀）·a₂₀₁₁·a₂₀₁₂=（-1）⁶⁷⁰·

1

2

·2=-1．