试题
题目：
请先观察下面的等式：
①3
2
-1
2
=8=8×1；
②5
2
-3
2
=16=8×2：
③7
2
-5
2
=24=8×3；
④9
2
-7
2
=32=8×4
…
（1）请写出第⑦、⑩个等式；
（2）通过观察，你能发现什么规律？猜想并写出第n个等式；
（3）请你用上述规律计算2 013
2
-2 011
2
的值．
答案
解：（1）第⑦个等式为：15
2
-13
2
=56=8×7；
第⑩个等式：21
2
-19
2
=80=8×10；
（2）通过观察可发现两个连续奇数的平方差是8的倍数，
第n个等式为：（2n+1）
2
-（2n-1）
2
=8n；
（3）2 013
2
-2 011
2
=8×1006=8048．
解：（1）第⑦个等式为：15
2
-13
2
=56=8×7；
第⑩个等式：21
2
-19
2
=80=8×10；
（2）通过观察可发现两个连续奇数的平方差是8的倍数，
第n个等式为：（2n+1）
2
-（2n-1）
2
=8n；
（3）2 013
2
-2 011
2
=8×1006=8048．
考点梳理
考点
分析
点评
规律型：数字的变化类．
（1）通过观察可得第⑦个等式为：15
2
-13
2
=56=8×7；第⑩个等式：21
2
-19
2
=80=8×10；
（2）通过观察可发现两个连续奇数的平方差是8的倍数，第n个等式为：（2n+1）
2
-（2n-1）
2
=8n；
（3）根据发现的规律计算即可．
此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力，本题的关键规律是：（2n+1）
2
-（2n-1）
2
=8n．
找相似题
观察下面的几个算式：
13×17=221可写成100×1×（1+1）+21；
23×27=621可写成100×2×（2+1）+21；
33×37=1221可写成100×3×（3+1）+21；
43×47=2021可写成100×4×（4+1）+21；
…
根据上面规律填空：
（1）83×87可写成
100×8×（8+1）+21
100×8×（8+1）+21
．
（2）（10n+3）（10n+7）可写成
100n（n+1）+21
100n（n+1）+21
．
（3）计算：1993×1997=
3980021
3980021
．
张老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
数据
1
2
3
4
…
输出
数据
1
2
1
4
1
8
1
16
…
那么，当输入数据是6时，输出的数据是
1
64
1
64
．
一组按规律排列的数：
9
5
，
16
12
，
25
21
，
36
32
，…请推断第n个数是
(n+2
)
2
n
2
+4n
(n+2
)
2
n
2
+4n
．
观察下列各式：①4=2
2
；②4+12=4
2
；③4+12+20=6
2
；④4+12+20+28=8
2
；…则第n个等式为
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
．
观察下列：1×3=3而3=2
2
-1，3×5=15而15=4
2
-1，5×7=35而35=6
2
-1，…，11×13=143而143=12
2
-1．你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来是
n（n+2）=（n+1）
2
-1
n（n+2）=（n+1）
2
-1
．