试题
题目：
观察下列算式，你发现了什么规律？
1
2
=
1×2×3
6
；1
2
+2
2
=
2×3×5
6
；1
2
+2
2
+3
2
=
3×4×7
6
；1
2
+2
2
+3
2
+4
2
=
4×5×7
6
；…
（1）你能用七个算式表示这个规律吗？
（2）根据你发现的规律，计算下面算式的值：1
2
+2
2
+3
2
+…+8
2
．
答案
解：（1）1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=
n(n+1)(2n+1)
九
；
（2）当n=8时，原式=
8×9×17
九
=204．
解：（1）1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=
n(n+1)(2n+1)
九
；
（2）当n=8时，原式=
8×9×17
九
=204．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
规律型：数字的变化类．
（1）分母都为6，如果等号左边有1个加数，那么分子中的第一个因数为1，第二个因数为2，第三个因数为1+2=3，如果等号左边有2个加数，那么分子中的第一个因数为2，第二个因数为3，第三个因数为2+3=5，如果等号左边有n个加数，那么分子中的第一个因数为n+1，第二个因数为n+1，第三个因数为n+（n+1）=2n+1；
（2）把n=8代入即可求解．
解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
规律型．
找相似题
观察下面的几个算式：
13×17=221可写成100×1×（1+1）+21；
23×27=621可写成100×2×（2+1）+21；
33×37=1221可写成100×3×（3+1）+21；
43×47=2021可写成100×4×（4+1）+21；
…
根据上面规律填空：
（1）83×87可写成
100×8×（8+1）+21
100×8×（8+1）+21
．
（2）（10n+3）（10n+7）可写成
100n（n+1）+21
100n（n+1）+21
．
（3）计算：1993×1997=
3980021
3980021
．
张老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
数据
1
2
3
4
…
输出
数据
1
2
1
4
1
8
1
16
…
那么，当输入数据是6时，输出的数据是
1
64
1
64
．
一组按规律排列的数：
9
5
，
16
12
，
25
21
，
36
32
，…请推断第n个数是
(n+2
)
2
n
2
+4n
(n+2
)
2
n
2
+4n
．
观察下列各式：①4=2
2
；②4+12=4
2
；③4+12+20=6
2
；④4+12+20+28=8
2
；…则第n个等式为
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
．
观察下列：1×3=3而3=2
2
-1，3×5=15而15=4
2
-1，5×7=35而35=6
2
-1，…，11×13=143而143=12
2
-1．你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来是
n（n+2）=（n+1）
2
-1
n（n+2）=（n+1）
2
-1
．