试题

问题：能比较两个数2009²⁰¹⁰和2010²⁰⁰⁹的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般彤式，即比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ的大小（n是正整数），然后，我们从分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格内填写“＞”“=”或“＜”）．
①1²2¹；
②2³3²；
③3⁴4³；
④4⁵5⁴；
⑤5⁶6⁵．
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可猜想出nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ的大小关系是．
（3）根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：2009²⁰¹⁰2010²⁰⁰⁹．

解：（1）①1²=1＜2¹=2；
②2³=8＜3²=9；
③3⁴=81＞4³=64；
④4⁵=1024＞5⁴=625；
⑤5⁶=15625＞6⁵=7776；…

（2）当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵2010＞3，
∴2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹．
故答案为：（1）＜；＜；＞；＞；＞；（2）当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；（3）＞．