试题

题目：
设N是正整数，如果存在大于1的正整数k，使得N=
k(k-1)
2
是k的正整数倍，则称N为一个“千禧数”，试确定在1，2，3，…，2000中“千禧数”的个数为
1989
1989
并说明理由．
答案
1989

解：根据分析可得：只有当N有大于1的奇因子时，N是千禧数．
在1，2，…，2000中，只有1，2，22，…，210不是千禧数．
故有千禧数2000-11=1989（个）．
故答案为：1989．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
若N是千禧数，则存在正整数m，使得N-
k(k-1)
2
=km，即2N=k（2m+k-1），显然，k与2m+k-1的奇偶性不同，且k＞1，2m+k-1＞1．所以，2N有大于1的奇因子，从而N有大于1的奇因子．反过来，若N有大于1的奇因子，则可设2N=AB，其中A、B的奇偶性不同，且A＜B，则A＞1且N-
A(A-1)
2
=
AB
2
-
A(A-1)
2
=A·
B-A+1
2
．其中
B-A+1
2
为正整数．故N是千禧数．
读懂题意通过观察，分析、归纳并发现千禧数的定义，根据推理找出不是千禧数的个数，从而得到千禧数的个数．
规律型．
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