答案
D
解：方程两边都乘以x+1得：x-1=x+1+a①，
A、把a=0代入①得：x-1=x+1，
-1=1，此时①无解，即分式方程也无解，故本选项错误；
B、把a=1代入①得：x-1=x+1+1，
-1=2，此时①无解，即分式方程也无解，故本选项错误；
C、把a=-1代入①得：x-1=x+1-1，
-1=0，此时①无解，即分式方程也无解，故本选项错误；
D、把a=-2代入①得：x-1=x+1-2，
x-1=x-1，即不论x为何值，方程左右两边都相等，此时①有解，即分式方程也有解，故本选项正确；
故选D．