试题

如图平面直角坐标系xoy中，A（1，0）、B（0，1），∠ABO的平分线交x轴于一点D．
（1）求D点的坐标；
（2）如图所示，A、B两点在x轴、y轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON=45°，下列结论（1）BM+AN=MN，（2）BM²+AN²=MN²，其中有且只有一个结论成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论．

解：（1）过点D作DE⊥AB于E，设D点坐标为（m，0），根据题意得：
OB=1，0A=1，0D=m；
在Rt△AOB中，AB²=OA²+OB²，所以AB=

2

，∠A=45°；（1分）
在△DOB和△EDB中，∠DOB=∠DEB，∠OBD=∠EBD，BD=BD，
∴△DOB≌△EDB，（2分）
∴OD=DE=m，OB=BE=1；（3分）
在△AED中，∠A=45°，∠AED=90°，
∴DE=AE=m，（4分）
∴1+m=

2

，
∴m=

2

-1，
∴D点坐标为（

2

-1，0）．（5分）

（2）结论②正确；
过点O作OE⊥OM，并使OE=0M，
在△MOB和△EOA中，
OB=OA，∠MOB=∠AOE，OM=OE，
∴△MOB≌△EOA，
∴BM=AE，∠B=∠OAE，（6分）
在△MON和△EON中，
OM=OE，∠MON=∠NOE=45°，ON=ON，
∴△MON≌△EON；
∴MN=NE，（7分）
又∵∠NAE=∠NAO+∠OAE=90°，
∴△NAE为直角三角形，（8分）
∴NA²+AE²=NE²
∴BM²+AN²=MN²，即结论②正确．（10分）
解：（1）过点D作DE⊥AB于E，设D点坐标为（m，0），根据题意得：
OB=1，0A=1，0D=m；
在Rt△AOB中，AB²=OA²+OB²，所以AB=

2

，∠A=45°；（1分）
在△DOB和△EDB中，∠DOB=∠DEB，∠OBD=∠EBD，BD=BD，
∴△DOB≌△EDB，（2分）
∴OD=DE=m，OB=BE=1；（3分）
在△AED中，∠A=45°，∠AED=90°，
∴DE=AE=m，（4分）
∴1+m=

2

，
∴m=

2

-1，
∴D点坐标为（

2

-1，0）．（5分）

（2）结论②正确；
过点O作OE⊥OM，并使OE=0M，
在△MOB和△EOA中，
OB=OA，∠MOB=∠AOE，OM=OE，
∴△MOB≌△EOA，
∴BM=AE，∠B=∠OAE，（6分）
在△MON和△EON中，
OM=OE，∠MON=∠NOE=45°，ON=ON，
∴△MON≌△EON；
∴MN=NE，（7分）
又∵∠NAE=∠NAO+∠OAE=90°，
∴△NAE为直角三角形，（8分）
∴NA²+AE²=NE²
∴BM²+AN²=MN²，即结论②正确．（10分）