如图①，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H、动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的-青果题库-青果学院

题目：

如图①，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H、动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，图②所示为点P在线段AB上运动时，△PAC的面积T与运动时间t之间关系的图象．
（1）求点A的坐标直线AC的解析式；
（2）求出点P在剩余时间内运动时，△PAC的面积T与运动时间t之间关系，并在图②中画出相应的图象；
（3）连接BM，如图③，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（4）当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．青果学院

答案

解：（1）过C点作AB的高，与AB的延长线交于D点，
由右图可知，运动时间为2.5秒，AP=2.5×2=5，
又面积为10，所以，CD=

2×10

5

=4，
在Rt△CBD中，BD=

BC2-CD2

=3
故AH=AB-BH=OC-BH=DH-BH=BD=3
∴A（-3，4）；
将A（-3，4），C（5，0）代入直线y=kx+b中，
得AC：y=-

1

2

x+

5

2

；

（2）解：将（2.5，10），（5，0）代入T=kt+b，

10=2.5k+b

0=5K+b

，
解得：k=-4，b=20，
∴T=20-4t
如图②所示

（3）当点P在AB之间时，S=

1

2

×（4-

5

2

）×（5-2t）=

15

4

-

3

2

t（0≤t≤

5

2

），
当点P在BC之间时，S=

1

2

×

5

2

×（2t-5）=

5

2

t-

25

4

（

5

2

＜t≤5）；

（4）设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，∴∠MPB=∠MBH．
当P点在AB边上运动时，如图（2）青果学院

∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，∵MH⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH-PH=1，
∴t=

1

2

，
∵AB∥OC，
∴∠PAQ=∠OCQ，
∵∠AQP=∠CQO，
∴△AQP∽△CQO，
∴

AQ

CQ

=

AP

CO

=

1

5

，
在Rt△AEC中，AC=

AE2+EC2

=

42+82

=4

5

，
∴AQ=

2

5

3

QC=

10

5

3

，
在Rt△OHB中，OB=

HB2+HO2

=

22+42

=2

5

，

∵AC⊥OB，OK=KB AK=CK，
∴OK=

5

AK=KC=2

5

∴QK=AK-AQ=

4

5

3

∴tan∠OQC=

OK

QK

=

3

4

，

当P点在BC边上运动时，如图（3）
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴

BM

BP

=

HM

HB

即

5

2

BP

=

3

2

，
∴BP=

10

3

，
∴t=

25

6

，
∴PC=BC-BP=5-

10

3

=

5

3

．
由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA，
∴

CQ

AQ

=

CP

AO

，
∴

CQ

AQ

=

1

3

，
CQ=

1

4

AC=

5

，
∴QK=KC-CQ=

5

∵OK=

5

，∴tan∠OQK=

OK

KQ

=1．
综上所述，当t=

1

2

时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为

3

4

．
当t=

25

6

时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1．
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