试题

题目：
青果学院如图，将边长为4的等边三角形沿MN折叠，点A恰好落在BC边上的点D处，已知AM：AN=2：3，求CD的长．
答案
解：∵AM：AN=2：3，
∴设AM=2k，AN=3k，青果学院
∵△ABC边长为4，
∴MB=4-2k，NC=4-3k，
∵△AMN≌△DMN，
∴DM=AM=2k，DN=AN=3k，
∵∠MDN=∠A=60°，
∴∠MDB+∠NDC=120°，
∵∠C=60°，
∴∠NDC+∠DNC=120°，
∴∠DNC=∠MDB，
∴△BMD∽△CDN，
∴BM：CD=BD：CN=MD：DN=2：3，
∴BD=
2
3
NC=
8
3
-2k，
CD=
3
2
MB=6-3k，
于是
8
3
-2k+6-3k=4，
解得：k=
14
15
，
∴CD=
16
5
．
解：∵AM：AN=2：3，
∴设AM=2k，AN=3k，青果学院
∵△ABC边长为4，
∴MB=4-2k，NC=4-3k，
∵△AMN≌△DMN，
∴DM=AM=2k，DN=AN=3k，
∵∠MDN=∠A=60°，
∴∠MDB+∠NDC=120°，
∵∠C=60°，
∴∠NDC+∠DNC=120°，
∴∠DNC=∠MDB，
∴△BMD∽△CDN，
∴BM：CD=BD：CN=MD：DN=2：3，
∴BD=
2
3
NC=
8
3
-2k，
CD=
3
2
MB=6-3k，
于是
8
3
-2k+6-3k=4，
解得：k=
14
15
，
∴CD=
16
5
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
首先根据AM：AN=2：3，可设AM=2k，AN=3k，进而得到MB=4-2k，NC=4-3k，再由△AMN≌△DMN，可得DM=AM=2k，DN=AN=3k，然后证明△BMD∽△CDN，再根据相似三角形的性质可得BM：CD=BD：CN=MD：DN=2：3，然后用含k的代数式表示出BD、CD，再根据BC=4计算出k的值即可．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，关键是利用含k的代数式表示出BD、CD的长．
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