试题

题目：
青果学院若△ABC是边长为6的等边三角形，点F是△ABC的重心，连接AF延长至点E，交BC于D，CF∥BE，则四边形BECF的周长为
8
3
8
3
．
答案
8
3

解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，点F是△ABC的重心，
∴AB=BC=6，AD⊥BC，
∴BD=CD=
1
2
BC=3，
∴AD=
AB2 -BD2  
=3
3
，青果学院
∴FD=
1
3
AD=
3
，
∵AD⊥BC，BD=CD，
∴BF=CF，BE=CE，
∴∠BEF=∠CEF，
∵CF∥BE，
∴∠CFE=∠BEF，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，
∴BE=CE=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形，
∵BD=3，DF=
3
，
∴BF=
DB2+DF2 
=2
3
，
∴四边形BECF的周长是4×2
3
=8
3
．
故答案为：8
3
．
考点梳理
菱形的判定与性质；三角形的重心；等边三角形的性质．
根据等边三角形的性质可知外心，重心，垂心三心合一；且内角均为60°；根据勾股定理可求出AD的长，利用重心的性质可求出DF的长，再证明四边形BECF是菱形即可求出其周长．
本题考查了等边三角形的性质、重心的性质、勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目的综合性很强，难度不大．
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