试题

题目：
等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程青果学院的时间最短，则点G的坐标为
（0，-
3
）
（0，-
3
）
．
答案
（0，-
3
）

青果学院解：根据题意，AO=6sin60°=3
3
，
如图，设OG长度为y，则AG=3
3
-y，
在Rt△OCG中，CG=
y2+32
，
设电子虫在y轴上的速度为2v，则在GC上的速度为v，
所以电子虫走完全程的时间为t=
3
3
-y
2v
+
y2+32
v
，
∵电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，
∴当且仅当
3
3
-y
2v
=
y2+32
2v
时，t有最小值，
即3
3
-y=2
y2+32
，
整理得，y2-2
3
y+3=0，
解得y=
3
．
所以点G的坐标为（0，-
3
）．
故答案为：（0，-
3
）．
考点梳理
等边三角形的性质；解一元二次方程-直接开平方法．
先求出等边三角形BC边上的高为3
3
，设OG的长度为y，则AG的长度为3
3
-y，根据时间等于路程除以速度，设电子虫在y轴上的速度为2v，则在GC上的速度为v，列出时间表达式，再根据不等式当且仅当
3
3
-y
2v
=
y2+32
2v
时取最小值，求出y值，点G坐标可得．
本题考查了等边三角形高的求法以及勾股定理的运用，利用不等式求最值是解题的关键．
应用题；压轴题．
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