试题

题目：
已知，如图：Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=10，D为△ABC外一点，连接AD，BD，过D作DH⊥AB，垂青果学院足为H，交AC于E．
（1）若△ABD是等边三角形，求DE的长为
4
3
-5
4
3
-5
；
（2）若BD=AB，且tan∠HDB=
3
4
，求DE的长为
12
5
12
5
．
（根据2007年重庆中考题改编）
答案
4
3
-5

12
5

解：（1）∵△ABD是等边三角形，
∴DH垂直平分AB且∠ADH=30°，
∴EH是△ABC的中位线，
∵AB=8，BC=10，
∴DH=4
3
，EH=5，
∴DE=4
3
-5；

（2）∵BD=AB，tan∠HDB=
3
4
，AB=8，DH⊥AB，
∴在Rt△BDH中，DH=
32
5
，BH=
24
5
，
∵AB=8，
∴AH=
16
5
，
∵DH⊥AB，
∴△AHE∽△ABC，
∴AH：AB=EH：BC，
即
16
5
：8=EH：10，
∴EH=4，
∴DE=
32
5
-4=
12
5
．
考点梳理
解直角三角形；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）利用等边三角形的性质及中位线就可求得DE的长；
（2）DH⊥AB，可证△AHE∽△ABC，利用相似比可计算EH的长，则DE的长可求解．
本题主要考查了等边三角形的性质及相似三角形的判定及性质．
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