试题

题目：
如图，一只蜘蛛结了一张很大的网，直线MN、PQ与x轴所夹的锐角都为60°，第1个结点A1在原点上，此后各个结点均按逆时针排列，同一直线上相邻两个结点之间的距离都是1个单位长，那么第91个结点A91的坐标为
（
15
2
，-
15
2
3
）
（
15
2
，-
15
2
3
）
．
青果学院
答案
（
15
2
，-
15
2
3
）

解：∵第1个结点A1在原点上，此后各个结点均按逆时针排列，并且组成的为正六边形，
∴A1+6x=91，解得x=15，
∴第91个结点A91为第十五个正六边形，交QP于点A91且在x轴下方，
∴A1A91的长度为15，
∵PQ与x轴所夹的锐角都为60°，
∴cos60°=
x
15
=
1
2
，得出x=
15
2
，
cos30°=
y
15
=
3
2
，得出y=
15 
2
3
，
∵所交点在x轴下方，
∴点A91的坐标为（
15
2
，-
15
2
3
），
故答案为（
15
2
，-
15
2
3
）．
考点梳理
等边三角形的性质；坐标与图形性质．
根据已知条件得出第91个结点A91为第十五个正六边形，交QP于点A91且在x轴下方，再根据特殊角的三角函数值即可得出点A91的坐标．
本题考查了等边三角形的性质，利用特殊角的三角函数值即可得出结果，难度较大．
压轴题；规律型．
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